Young図形？

四角い箱を左上詰めで，下の行の箱の数が上の行の箱の数以下になるように並べた図形をYoung図形といいます．例えば，

f:id:s_nrsw:20191108235731p:plain — Young図形

流儀によっては左下詰めで積み重ねるように並べたり，V字型に並べることもあります．ざっくりしていますが，詳しいことはあとで書くことにします．

この図形は組合せ論の道具なのですが，他の分野でも色々な場面で現れることが知られています．例えば，対称群の表現論ではYoung図形が主要な役割を果たします．また古典リー環に付随する量子群上の有限次元既約表現の結晶基底はYoung図形を使って実現されます．

そういう色々の応用をここで述べる余裕はありませんが，今後そういった記事を書いたときの参照先としてこの記事を書くことにします．

基本的な参考文献は Sagan のThe Symmetric group [Sagan]です．

分割とYoung図形

ここでは分割からはじめてYoung図形を定義しましょう．

Definition (partition) $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)$ $(\lambda_i \in \mathbb{N}_{\geq 0})$ が次を満たすとき， $\lambda$ を $n \in \mathbb{N}_{\geq 0}$ の parition (分割) とよび $\lambda \vdash n$ とかく．

$\lambda_1 + \cdots + \lambda_k = n$
$\lambda_i \geq \lambda_{i + 1} \quad \forall i \in \{1, 2, \dots, k-1\}$

1.を満たすものを $n$ の composition と呼ぶ．

また， $\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_k)$ の $k$ を $\lambda$ の長さとか高さと呼んだりします． (composition の和訳でしっくりくるものがないので分割も partition とよんでいます)

Example (partition, composition)

$(3, 2, 1)$ は $6$ のpartion. また $6$ の composition.
$(4, 3)$ は $7$ の composition だが partitionでない．

この partition を使ってYoung図形を定義します．

Definition (Young図形) $n$ の partion $\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_k)$ に対し, i 行目に $\lambda_i$ 個の箱を並べた図形を (shape $\lambda$ の) Young図形 (Young diagram)と呼ぶ．

Example (Young図形)

f:id:s_nrsw:20191108235918p:plain — partitionとYoung図形

partitionとYoung図形は一対一に対応するので，今後 partition $\lambda$ をYoung図形と同一視します．

Young盤

Young図形の各箱に数字を書き入れることを考えます．これをYoung盤 (Young tableau) と呼びましょう．この数字の書き入れ方のルールをいくつか考えます． Young図形の議論は，実際には，適当なルールを課したYoung盤を扱うことが多いです．

Definition (標準盤) $\lambda \vdash n$ に次のルールで $1$ から $n$ までの自然数を書き入れたものを 標準盤 (standard tableau) という．

行は(左から右に見て)狭義増加列,
列は(上から下に見て)狭義増加列.

Example (標準盤)

f:id:s_nrsw:20191109001106p:plain — 左は標準盤, 右はダメな例

上の定義で，書き入れる数が $\{ 1,2, \dots, n \}$ とは限らないとき (単に異なる自然数で1. 2.を満たすように書き入れられているとき) [Sagan]では partial tableau と呼んでいます．またここで標準盤の定義を少し弱めた半標準盤を定義しておきます．

Definition (半標準盤) $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ と $\mu = (\mu_1, \dots, \mu_l)$ をそれぞれ $n$ の partition と composition とする． shape $\lambda$ のYoung図形に $\mu_i$ 個の $i$ を書き入れることを考える．このとき，次のルールで数字を書き入れた Young盤を shape $\lambda$ weight $\mu$ の半標準盤 (semistandard tableau) と呼ぶ．

行は(左から右に見て)広義増加列,
列は(上から下に見て)狭義増加列.

Example (標準盤) $\lambda = (3, 2), \mu = (2, 2, 1)$ とする．このとき shape $(3, 2)$ に $\mu_1 = 2$ 個の $1$ , $\mu_2 = 2$ 個の $2$ , $\mu_3 = 1$ 個の $3$ を, 行は広義増加列，列は狭義増加列になるように書き入れると半標準盤．例えば